수학 대안교과서의 기본 컨셉

사교육걱정없는세상 수학사교육포럼

Ⅰ. 현재 수학교과서의 문제점

교과서 제도의 후퇴로 인한 문제점

2015 개정 교육과정에 따른 중학교 수학교과서는 검정제로 되돌아갔다. 보다 자유롭고 장차 자유발행제로 가려는 길목에 있었던 인정제를 유지하지는 못할망정 국가에서 통제력을 강화할 수 있는 검정제를 시행한 것은 역사교과서 국정화에 따른 기조를 맞추기 위한 희생이었다고 추측하는 것이 타당할 것이다.

[그림 ] 교과서 발행체제(박경미 의원실 제공)

가장 큰 문제점은 검정제에서는 교과서 분량은 부록을 포함하여 책별 250쪽으로 제한하며, 10% 범위 내에서 증감할 수 있다. 그리고 별도의 ‘정답 및 해설’은 250쪽의 15% 이내로 개발한다는 규정이다. 이렇게 되면 새 교과서의 최대 쪽수는 부록을 포함한 본문은 275쪽이다. 하지만 이는 현실을 너무나 무시한 규정이다.

현재 사용하고 있는 중학교 1학년 인정제 교과서 5권의 쪽수를 조사했더니 다음 <표 1>과 같이 평균 338쪽이 나온다.

<표 > 2009 개정 교육과정에 따른 수학교과서 쪽수 조사

출판사	본문(쪽수)	부록(쪽수)	본문+부록(쪽수)	정답 및 해설(쪽수)
A	312	21	333	23
B	315	12	327	22
C	274	66	340	30
D	349	8	357	32
E	318	14	332	36
평균	313.60	24.20	337.80	28.60

그렇다면 새로운 교과서는 지금보다 무려 88쪽(최소 63쪽)이 줄어야 한다. 그런데 새 교과서의 편찬상의 유의점을 보면 다음 세 가지를 추가로 요구하고 있다.

⦁수학 교과 역량(문제 해결, 추론, 창의･융합, 의사소통, 정보 처리, 태도 및 실천)을 기르는 데 적합하도록 구성한다.

⦁수학 교과 역량 함양에 적합한 다양한 교수･학습 방법을 포함한다.

⦁결과보다는 과정 중심 평가가 이루어질 수 있도록 다양한 평가방법을 포함한다.

추가해야 하는 항목은 대폭 늘었는데 교과서 분량은 20% 이상 줄이라고 하니 교과서 출판사나 집필자들의 고민이 이만저만 아닐 것이다. 이런 사정이 있다보니 그렇지 않아도 교사의 일방적⦁주입식 가르침(교수, 敎授)을 중심으로 구성된 현재의 교과서 구성을 학습자의 배움(학습, 學習)을 중심으로 바꾸려는 것은 시도조차 할 수 없게 되었다. 그래서 우리 팀은 시민단체인 사교육걱정없는세상과 함께 배움을 중심으로 하는 구성주의 교육철학을 담은 중학교 수학 대안교과서를 만들기로 나선 것이다.

교과서의 분량을 제한했을 때 나타나게 될 문제점을 정리하면 다음과 같다.

첫째, 뒤처지고 준비가 부족한 학생들을 배려하는 복습 과정을 충분히 개설할 수 없다. 그래서 교과서가 나선형으로 구성하는 것을 포기하고 단선형으로 구성해온 지금의 관행을 바꾸기 어렵다.

둘째, 지면이 충분하지 않기 때문에 교사의 설명식 교수에 적합한 교과서를 만들 수밖에 없다. 그래서 ‘개념 설명 - 예제 설명 - 문제 풀이 연습’의 전형적인 3단계 수업에 적합한 교과서 구성을 벗어나기 어렵다.

셋째, 개념을 만들고 발견하는 과정에서 고수준의 사고를 요하는 많은 질문과 과제가 만들어질 수 있는데, 개념을 일방적으로 주입하고 그것을 이용하여 문제를 해결하는 방식으로 구성된 현재와 같은 교과서로는 저수준의 사고를 요하는 문제를 주로 수록될 수밖에 없다. 따라서 새 교과서에서도 수준 높은 질문과 과제를 제시하는 것을 기대하기 어렵다.

2. 수학 교과서의 근본적인 문제점

우리나라 수학교과서는 검정제보다 훨씬 자유로운 인정제에서도 전통적인 문제점을 가지고 있었다. 앞의 검정제로 인한 문제점 이외의 것을 나열하면 다음과 같다.

첫째, 현재의 교과서는 학습자의 배움을 중심으로 하는 교과서 기술 방식이 아닌 교사의 일방적⦁주입식 수업에 적합한 구성이다. 이제는 학습자 스스로 지식을 구성하고 발견하도록 구성주의 교육철학에 맞는 교과서 구성이 필요하다.

둘째, 현재의 교과서에는 학생의 인지 발달에 맞지 않는 구성 요소가 많다. 교육과정의 학문적 용어와 교과서의 단원 이름이 일치하는 것은 교육과정과 교과서의 용도나 독자를 구분하지 못한 탓이다. 아직 배우지 않은 개념을 교과서의 단원 이름으로 사용하거나 그것을 배울 것이라고 예고하는 것은 학생의 인지 발달을 전혀 고려하지 않은 것이다.

셋째, 현재 교과서는 수학 개념의 연결성과 통합을 위한 노력이 부족하다. 수학 개념은 계열성이 강하면서도 다양성도 강하다. 그래서 가급적 단원 간의 분절적인 지도보다는 통합적인 지도를 지향해야 하는데, 교육과정의 영역 구분이 교과서에서 허물어지지 않고 있다. 학생들 스스로 허물어 통합을 해야 한다.

넷째, 현재 교과서는 수학적 반성 등 수학적 사고를 중시하지 않고, 문제를 푸는 것에서 학습이 멈추고 있다. 그리고 학생들에게 수학을 공부하는 학습원리 또는 학습법을 제시하지 못하고 있어서 수학 학습을 어려워하는 아이들을 위한 배려가 부족하다.

Ⅱ. 수학 대안교과서의 기본 컨셉

1. 지식 일변도에서 벗어나 지식과 사고력이 통합된 교과서

그동안 우리나라의 교육과정 성취기준에는 사고력이라는 것이 없었다. 이번에는 수학 교과 역량이 강조되면서 수학적 과정 등이 교육과정 내용 영역과 통합되었어야 하는데, 아직 이 부분에 대한 연구가 부족한 형편이다.

대안교과서는 수학적 과정 또는 핵심 역량을 성취기준에 최대한 통합하여 제시하고 거기에 맞는 탐구활동이 이루어지도록 할 것이다.

2015 수학과 교육과정 성취기준

□□입체도형의 성질

[9수04-07] 다면체의 성질을 이해한다.

[9수04-08] 회전체의 성질을 이해한다.

[9수04-09] 입체도형의 겉넓이와 부피를 구할 수 있다.

□

우리 대안교과서 성취기준

Ⅷ. 입체도형

1. 다면체

가. 다면체의 성질

1) 다면체를 관찰하여 다면체의 뜻을 구성하고, 말할 수 있다.

2) 다면체의 꼭짓점, 모서리, 면을 관찰하여 다면체의 성질을 발견할 수 있다.

3) 정다면체의 뜻을 말하고, 정다면체와 정다면체가 아닌 것을 구별할 수 있다.

나. 다면체의 겉넓이와 부피

1) 전개도를 관찰하여 기둥과 뿔, 각뿔대의 겉넓이를 구하는 일반적인 방법을 발견하고 이를 설명할 수 있다.

2) 실험과 관찰을 통해 기둥과 뿔, 각뿔대의 부피를 구하는 일반적인 방법을 발견하고 이를 설명할 수 있다.

3) 겉넓이와 부피와 관련된 실생활 문제를 해결할 수 있다.

..........생략..........

2. 학생의 인지발달을 충분히 고려한 교과서

학생의 인지발달을 고려하는 방안은 여러 가지가 있을 수 있다. 실생활이면 다 괜찮은 것이 아니라 학생들의 경험 가능한 세계를 벗어나지 않도록 선정해야 하는 조심성이 필요하다. 그리고 학생들이 실제로 흥미를 가지고 있는 소재라든가 최대의 관심사여야 한다.

교과서의 단원이나 주제를 학문적인 용어보다는 최대한 학생들의 경험에 맞게 이름 짓는 것도 인지발달을 고려하는 것이다. 이것은 수학의 개념을 학생 스스로 발견하는 기쁨을 주는 목적에서 받아들일 필요가 있다. 수학의 학문적 용어로 단원의 이름을 정하는 것은 목표를 강요하고 받아들이도록, 그래서 학생들로 하여금 스스로 사고하여 발견하기보다 답을 미리 알려주는 역효과가 있음을 주의해야 한다. 인지적인 목표나 정의가 드러나지 않게 해서 학습이 이루어지는 과정에서 그날의 학습 목표를 학생 스스로 발견하는 경험은 자기 주도성을 확보하고 자아 효능감을 높이는 중요한 계기가 될 것이다. 이것은 수학에 대한 정의적 영역의 성취를 높이는 효과도 노릴 수 있다.

대안교과서에서는 단원의 이름을 제시할 때 아직 배우지 않은 용어 사용을 지양하고 학생들의 경험 세계의 용어나 호기심을 불러일으키는 방향으로 제시하고자 한다.

현재 수학 교과서의 단원 이름	➡	우리 대안교과서의 단원 이름
2. 입체도형 01. 다면체의 성질 가. 다면체는 무엇인가? 나. 정다면체는 무엇인가?		2. 입체도형 1. 다각형으로 둘러싸인 도형 1.1. 면의 모양 관찰하기 1.2. 다섯 개뿐인 이상적인 입체도형

‘다면체’ 또는 ‘정다면체’라고 하는 용어는 아직 학습되지 않은 상태이므로 사용하는 것을 지양하고, ‘면의 모양 관찰하기’, ‘다섯 개뿐인 이상적인 입체도형’ 등 실제 학생들의 활동 내용을 구체적으로 표현하여 학생들의 호기심을 유발하고 직접적인 참여를 유도하고자 한다.

3. 출발선을 맞추기 위한 복습 과정이 살아있는 교과서

현재의 교과서는 복습 과정이 아주 짧게 대단원 시작 부분에 별도로 구성하여 제시하고 있다.

[그림 ] 현재 교과서 복습 과정(우정호 등)

초등학교 6학년에서 각기둥과 직육면체, 정육면체 등을 배웠고, 특히 직육면체에 대해서는 겉넓이와 부피를 학습하였다. 중학교 1학년에서는 다면체의 성질, 입체도형의 겉넓이와 부피를 학습하기 때문에 초등학교에서 배운 내용을 <준비 학습>으로 제시하는 것이 현재 교과서의 전형적인 모습이다.

학습자의 수준이 천차만별이고, 특히 학습의 위계성이 보다 명확한 수학과의 입장에서는 새로운 개념을 학습하기 위한 준비 차원에서 이미 학습한 배경 지식을 필요로 하는 경우에 학습 결손을 최소화하고 수업의 출발점을 최대한 맞추기 위해 ‘복습 과정’이 꼭 필요하다.

그런데 복습 과정이 별도로 구성되어 있으면 본문의 학습 시간과 차이가 나는 문제점과 많은 수업이 복습을 하지 않고 바로 본문에서 시작하는 현실을 고려하여 우리 대안교과서에서는 맨 앞에 복습을 별도로 구성하지 않고 본문의 탐구 활동으로 제시하고자 한다. 이 활동은 학교가 처한 환경에 따라서 건너뛸 수 있을 것이지만, 1년 이상의 공백을 메우기 위해서는 반드시 필요한 과정이기 때문에 선택이나 생략의 여지를 줄이고자 하는 의도다. 그리고 복습 과정을 새로 배울 과정과 따로 구분하지 않음으로써 둘 사이의 자연스러운 연결을 꾀하고자 한다.

활동2

평면도형을 축을 중심으로 돌려보면 어떤 입체도형이 나올 수 있는지 관찰해 봅시다.

1. 원판 위에 직사각형을 올려놓고 축을 중심으로 회전시켰을 때 어떤 입체도형이 보이는지 그리시오.

	⇒

2. 다음 물체들은 어떤 도형을 회전시킨 것인지 그리시오. (단, 주어진 직선은 회전의 중심입니다.)

4. 교사 중심의 일방주입식 기술이 아닌 자기 주도적 발견이 가능한 교과서

수학 개념은 교사의 일방 주입으로 가르쳐지지 않는다. 수학 개념은 학습자 스스로 발견하고 경험하고 생산하도록 하는 방식으로 학습되어야 한다. 즉, 지식을 학습자 스스로 구성해야만 학습자는 수학 개념의 발명자(발견자) 내지는 생산자의 위치로 갈 수 있다.

현재 교과서는 형식적인 생각열기로 동기 유발을 하려는 시도는 하지만 이어지는 본문에서 수학 지식을 일방적으로 주입하는 방식을 쓰고 있어서 학생들에게 철학적인 혼란을 주게 된다. ‘개념 설명 – 예제 설명 – 문제 풀이 연습’으로 이어지는 우리나라의 전형적인 3단계 수학교과서 구성을 보면 발견학습이나 탐구학습이라는 용어가 무색할 정도다. 제7차 교과서부터 들어온 생각열기나 탐구활동은 집필지침에 따른 구색 맞추기 이상의 역할을 하지 못하고 있다. 탐구활동이 본문으로 이어지지 못하는 것은 탐구활동이 일회적인 탓도 있고, 이후에 바로 개념이 주어지므로 탐구활동을 굳이 하지 않아도 되기 때문이다.

우리 대안교과서는 생각 열기를 더욱 강화하는 방안으로 탐구활동을 단번으로 끝내지 않고 지속적으로 제공하며 수학 개념에 대한 설명을 최대한 늦춰서 학습자가 스스로 개념을 발견하고 형성할 기회를 제공하고자 한다. 이것이 학습자의 배움을 중심으로 하는 교과서가 될 것이다. 그래야 스스로 공부하는 학습자를 만들 수 있다.

활동1

다음은 광물의 결정 모양을 다면체로 나타낸 것입니다. 각 면을 이루는 다각형들의 변의 길이가 모두 같다고 할 때 물음에 답하시오.

자철석(A)	황철석(B)	방해석(C)	석류석(D)

1. 다면체 A, B의 공통점이 무엇인지 토론하고 그 결론을 정리하시오.

2. 다면체 C는 다면체 A, B와 비교했을 때 어떤 점이 다른지 토론해 보고 그 결론을 정리하시오.

3. 다면체 D는 다면체 A, B와 비교했을 때 어떤 점이 다른지 토론해 보고 그 결론을 정리하시오.

다면체 A, B와 같이 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 다면체를 정다면체라고 합니다. 정다면체 모형을 만들고 관찰하는 활동을 통해 정다면체의 성질들을 탐구해 봅시다.

이렇게 정다면체를 정의하기 전 활동을 통해서 정다면체가 되는 것과 아닌 것 사이에 충분한 관찰을 통해 정다면체의 개념을 토론을 통하여 도출하게 하고 그것을 정리한 것이 정다면체의 정의가 된다. 그러나 이어지는 탐구활동에서 정다면체의 구성 활동을 하게 되며, 준정다면체와 정다면체의 차이점 등의 탐구활동도 이어진다.

5. 개념들이 각각 분절된 것이 아닌 개념의 연결성을 가르치는 교과서

서혜경 등은 연속성, 계열성, 통합성의 원리에 근거하여 우리나라 수학과 교육과정의 내용 체계를 분석하였는데, 우리나라 수학과 교육과정은 일회성, 단절성, 배타성의 경향이 강하고, 핵심 내용이 반복·심화·확대되는 나선형이라기보다는 내용이 한 번 소개되고 다음 내용으로 넘어가는 단선형의 특징을 보인다고 하였다. 또한 핵심 내용이 다양한 관점에서 접근되기보다는 한 내용 영역에서 제한적으로 가르쳐지는 편이며, 여러 내용 영역들이 통합적으로 조직되어 내용 체계를 이루기보다는 서로 배타적으로 병립하고 있는 경향을 보였다.

내용 조직에 있어서 연속성, 계열성, 통합성을 높이려면 수학 내용을 한 영역에서만 단편적으로 가르칠 것이 아니라 여러 내용 영역에서 통합적으로 다룸으로써 학생들이 중요한 수학 내용을 다양한 관점에서 접근할 수 있고 그리하여 수학 내용에 대한 깊은 이해를 할 수 있도록 도와주어야 할 것이다. 그리고 수학의 개념은 분절된 것이 아니라 일관성을 가지고 연결되었을 때 논리적인 모습을 갖추게 된다. 이런 논리적인 일관성을 경험하는 학습자에게는 수학에 대한 내적 동기가 자라게 되어 수학을 좋아하는 학습자로 성장하게 된다.

통합은 두 가지 측면에서 이루어질 수 있는데, 하나는 수학 내부의 영역 사이의 통합이고, 다른 하나는 수학 외부의 실생활 경험이나 다른 학문과의 통합이다.

현재 교과서는 학문적 입장에서 기술된 교육과정의 차례와 구분을 그대로 따르고 있기 때문에 각 영역이 분절되는 성격을 강하게 보이고 있고, 영역간 통합성이 약하게 나타나고 있어서 대안교과서에서는 이 부분을 강하게 만들 것이다. 특히 ‘수와 연산’, ‘문자와 식’, ‘함수’ 영역은 전체적으로 대수적인 부분에서 통합될 필요가 있으며, 더 나아가서는 대수와 기하 영역의 통합이나 통계와 대수, 기하 영역의 통합도 꼭 이뤄내야 할 것이다.

여러 영역 및 과목에 흩어져 있던 동일 주제의 내용을 통합하고 연결성을 강화시키면 불필요하게 복잡한 계산의 양을 대폭 줄이고 각 주제들이 왜 등장하게 되었는지 근본적인 물음에 답할 수 있게 될 것이다. 이러한 과정을 통하여 자연 현상과 사회 현상을 이해하고 기술하는 데에 수학이 왜 필요하고 유용한지 학생들이 체험하고 그 가치를 인식할 수 있을 것이다.

프로이덴탈은 함수, 그래프, 방정식을 대부분의 교과서에서 서로 다른 장으로 분리하여 다루는데, 이들을 연결해야 한다고 주장하였다.

6. 수학적 사고를 담은 수학 학습원리를 지속적으로 강조하는 교과서

수학과 교육과정 전체의 일관성은 아주 중요하다. 대안교과서에서는 일관성 유지를 위해 <수학 학습원리>를 제공할 것이다. <수학 학습원리>는 수학과 교육과정 전체의 일관성을 유지하기 위한 중요한 수단이다. 왜냐하면 수학 내용만으로는 일관성 유지가 어렵고, 지식 위주의 교육이 되기 쉽기 때문이다. 학습의 전 과정을 <수학 학습원리>로 지속적으로 끌고 가야 아이들이 수학을 배우는 이유를 자기 주도적으로 이해할 수 있고, 수학을 배우면서 수학을 실천하는 것이 몸에 배는 것이 가능해진다. 이런 과정을 통해 논리적이고 창의적인 인간으로 성장할 수 있을 것이다.

<수학 학습원리>는 항상 대안교과서의 첫 부분에 제시하여 수학교육의 시작점으로 삼고자 한다. 그래서 매 시간 매 활동마다 8가지의 <수학 학습원리> 중 일부를 지속적으로 수행함으로써 모든 수학 수업이 항상 통일되고 일관된 진행을 꾀하고자 한다.

수학 학습원리

이 책에서 여러분은 다양한 문제를 해결하고 그 속에 포함된 수학을 탐구함으로써 중요한 수학적 아이디어에 대한 이해력이 발전할 것입니다. 날마다 여러분은 다양한 문제를 이해하고 새로운 상황에서 이미 학습한 것을 응용하기 위해 다음과 같은 8가지의 “수학 학습원리”를 사용하게 될 것입니다.

학습원리 1. 문제를 이해하고 끈기 있게 풀기

다음 사항에 주의를 기울이며 문제 해결 계획을 세워 지속적으로 푸시오.

• 주어진 자료와 여러 가지 사실들, 문제를 해결에 하기 위해 필요한 추가 정보들, 제약 조건에 주의를 기울이기

• 비슷한 문제를 해결한 경험 떠올리기

• 문제를 변형하여 조건을 만족하는 특수한 경우나 간단한 형태로 바꾸기

• 필요한 정보를 얻기 위해 표, 방정식, 그림, 그래프 등을 사용하기

• 자신의 풀이를 다른 방법으로 풀 수 있는지 검토하기

학습원리 2. 추상적이고 정량적으로 추론하기

문제를 해결하려고 할 때, 때로는 다음과 같이 하는 것이 도움이 됩니다.

• 문제 상황에서 다루고 있는 양의 종류, 그들 사이의 관계가 무엇인지 이해하기

• 기호를 사용하여 수식으로 표현하기

• 결과가 주어진 문제 상황에 맞는지 해석하기

• 단위를 고려하고 양의 의미를 이해하기

학습원리 3. 자신의 생각을 논리적으로 설명하고 다른 사람의 생각을 비판하기

자신의 생각이 옳은 이유를 설명하기 위해 여러분은 다음과 같은 것들을 할 수 있습니다.

• 그 주장에 맞는 여러 가지 예시를 보여주고 왜 그 예시가 맞는지를 설명하기

• 새로운 결과가 이미 알려진 사실이나 법칙과 어떻게 연결되는지를 논리적으로 설명하기

어떤 생각이 옳지 않다고 확신할 때, 여러분은 다음과 같은 것을 할 수 있습니다.

• 그 주장에 맞지 않는 사례(반례)를 하나 또는 여러 개를 보여주기

• 이미 옳다고 알려진 법칙에 따라 그 주장이 틀릴 수밖에 없다는 것을 단계적으로 보여주기

학습원리 4. 수학적 모델 만들기

실생활의 문제를 해결하려고 할 때, 다음과 같이 하는 것이 도움이 됩니다.

• 실제 상황에서 도형의 모양을 주의 깊게 관찰하고 길이, 넓이, 부피 등의 양적 요소와 어떻게 관련되는지 파악하기

• 실제 상황에서 자료들 사이의 관계를 표, 그래프, 그림, 방정식 등으로 표현하고 그것을 다시 자료에 적용해도 옳은지 체크하기

학습원리 5. 수학적 구조를 찾고 반복되는 결과에서 규칙성을 찾아 표현하기

반복되는 계산 결과가 패턴을 보여줄 때, 다음과 같은 것이 도움이 됩니다.

• 규칙적인 패턴을 발견하고 이를 이용하여 결과를 예측하기

• 비슷한 문제 상황에서 적용할 수 있는 일반적인 규칙으로 표현하기

• 계산을 더 단순하게 할 수 있는 방법을 찾기

탐구활동 수행이나 문제 해결을 위해 여러분은 수학 학습원리를 항상 사용하게 될 것입니다. 문제에 따라서는 어떤 학습원리가 가장 유용한지 명백할 때도 있습니다. 하지만 그렇지 않은 경우도 있습니다. 이럴 때는 친구들과 토론하여 어떤 학습원리를 사용하는 것이 좋을지 결정합니다. 단원에 있는 문제를 모두 해결한 후에는 다음과 같이 수학 학습원리의 적용에 대해 스스로 반성해 봅시다.

• 이 문제를 해결하면서 배운 수학은 무엇인가요?

• 이 수학을 학습하는데 유용한 수학 학습원리는 무엇인가요?

7. 계산 위주의 문제보다 사고를 요하는 문제를 충분히 담은 교과서

이대현은 수학에 대한 학생들의 흥미를 높이기 위한 방법으로 실생활 현상을 수학적으로 나타내고 고찰하는 ‘모델링’ 활동을 제안하였다. 수학을 배우는 중요한 이유는 실제 생활에서의 활용에 있다며 수학교육은 실생활에서 출발, 이를 의미있는 수학적 상황으로 번안하는 수학화를 포함한 ‘수학적 모델링’ 과정을 강조하는 환경을 구축해야 한다는 것이다. 또한 수학교육의 근본적인 목표인 수학적 사고를 훈련시키고 문제해결력을 강조(NCTM)해야 하는데, 기존 학교 수학 내용이 개념이나 기능에 한정되어 있고, 학교에서 배운 지식과 기능을 연결하지 못하는 점, 학교 수학 내용이 학생들에게 매력적이지 않다는 점 등을 들어 학생들의 문제해결력을 신장시키기 위한 세부적인 지원 방법을 제시하였다.

현재 교과서는 계산 위주의 문제나 본문의 개념을 암기하여 문제 풀이에 적용하도록 하는 문제가 주를 이루고 있다. 그래서 문제를 푸는 과정에서 고수준의 사고를 요하지 않고 있다. 그리고 교과서에서 개념을 배울 때마다 예제를 제시하고 일일이 문제 푸는 과정을 시범적으로 보여주면서 학생들에게 모방하는 학습을 강요하고 있다.

우리 대안교과서에서는 중간 중간 문제를 푸는 것이 개념의 연결이나 탐구활동에 지장을 초래할 수 있기 때문에 활동의 지속성을 위해 본문에서는 탐구활동 이외의 문제를 모두 뒤로 돌려 연습문제로 제공하고 있다.

연습 문제 A	간단한 계산 문제나 확인 정리 문제 현 교과서의 중단원 확인 문제 교육과정의 성취기준을 확인하는 문제
연습 문제 B	수학 핵심 역량을 키울 수 있는 문제 독창적인 사고력을 필요로 하는 문제 발전적이고 통합적인 문제

그러나 계속 주어지는 탐구활동 자체가 과제의 연속이며, 수학 개념을 암기해서 간단히 적용하는 문제보다는 다양한 사고를 유발하는 열린 질문(open problems)을 제공하여 토론 활동과 사고력 향상을 꾀하고자 한다.

8. 수학적 반성을 통해 지식의 소유권(ownership)을 넘겨주는 교과서

대안교과서에서는 수학 학습의 마지막을 문제 풀이에서 끝내는 것이 아니라 ‘수학적 반성’으로 마무리할 것이다. 수학적 반성, 즉 <수학적 과정에 대한 반성>과 <수학 학습원리에 대한 반성>을 통하여 학생들은 자신의 배운 내용을 되돌아보게 된다. <수학적 과정에 대한 반성>에 나오는 질문들은 학생들이 자신의 생각을 조직하고 중요한 개념과 전략들을 요약하도록 도와준다. 질문들에 대해 생각하고 자신만의 아이디어를 그려 본 후에 학생은 교사와 다른 학생들과 토론하며 자신이 발견한 내용을 요약하여 적는다. <수학적 과정에 대한 반성>의 질문에 대한 학생의 반응을 통해 교사는 학생의 개념 이해 상태를 파악할 수 있다.

<수학 학습원리에 대한 반성>은 배운 것을 정리하는 학생의 사례로 끝난다. 학생들은 그 사례를 반영하는 또 다른 사례를 연구하고 품평하도록 요구받는다. 그러고 나서 탐구활동을 하는 동안에 사용했던 다른 사례들에 대해서 생각하도록 요청받는다.

수학적 반성 안에 들어 있는 이러한 두 가지 특징들은 학생들이 자신만의 수학적인 이해와 추론에 대한 소유권(ownership)을 가질 수 있도록 용기를 북돋아주며 또 학생들이 문제를 해결하는 과정에서 <수학 학습원리>가 지속적으로 작용하고 있다는 것을 깨달을 수(인정할 수)있도록 도와준다.

우리 대안교과서에서 수학적 반성을 가장 마지막 학습 요소로 배치한 것은 전통적으로 ‘수학 학습은 문제 풀이로 귀결된다.’는 인식을 ‘수학 학습의 끝은 학습자의 수학적 반성이어야 한다.’는 것으로 전환하고자 하는 의도가 있다. 그래서 수학 학습은 문제를 풀어 답을 맞히는 일이 아니라 학습한 수학 개념에 함유된 정확한 수학적 과정과 수학 학습원리를 되새기는 것이라는 것이 학습자에게 강조되어야 한다.

수학적 과정에 대한 반성(예시)

이 단원에서 여러분은 다면체의 뜻과 성질을 이용하여 여러 가지 문제를 해결해 보았습니다. 다음 질문에 답을 하면서 학습 내용을 정리해 봅시다. 여러분의 아이디어를 친구들, 그리고 선생님과 같이 토론해 봅시다. 그리고 여러분이 발견한 사실을 정리해 봅시다.

1. 다면체의 이름을 붙일 때 사용한 기준은 무엇인가요?

2. 다양한 입체도형에 대해 꼭짓점, 모서리, 면의 개수를 빠짐없이 세기 위해 어떤 방법을 사용했는지 설명하시오.

3. 주변의 물건들을 관찰하여 다면체임을 확인하고 이름을 붙인 후 그렇게 한 이유를 함께 설명하시오.

4. 정다면체가 5가지 종류밖에 없는 이유는 무엇일까요?

5. 실생활에서 다면체의 겉넓이를 구해야하는 상황에는 어떤 것이 있을까요? 또, 그렇게 생각한 이유는 무엇인가요?

6. 다면체 모양으로 생긴 물체의 부피를 구하려면 어떻게 해야 할까요? 다면체의 종류에 따라 그 방법을 설명해 봅시다.

수학 학습원리에 대한 반성(예시)

여러분은 이 단원의 탐구활동에 있는 문제들을 해결하기 위해 초등학교 또는 중학교에서 이미 학습한 지식을 사용했습니다. 또한 여러분은 그 문제들을 해결하기 위해 수학 학습원리를 적용했습니다. 여러분이 이 단원의 문제들을 해결하기 위해 사용 했던 지식들이 무엇인지, 그리고 어떤 수학 학습원리를 어떤 방법으로 사용했는지를 다음 예시를 통해 되돌아봅시다.

형신이는 다음과 같은 방법으로 단원 1.1.의 활동 1에 있는 문제들을 해결하기 위한 자기 사고 과정을 설명했습니다.

[형신이의 반성]

우리는 다면체를 이름 짓고 분류하는 활동을 통해 여러 가지 입체도형을 분류하는 기준을 세웠습니다. 또한 그 기준에 따라 다면체가 가지는 공통적인 특성을 발견했습니다. 다면체는 모두 각 면이 삼각형, 사각형 등과 같은 평면도형으로 구성되어 있으며, 평면도형의 모양과 면의 개수가 다면체의 이름을 짓는 중요 요소라는 것을 알았습니다. 그리고 분류한 다면체들의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수마다 나름의 규칙성이 있으며, 겨냥도나 전개도를 통해 이들을 확인할 수 있었습니다.

<수학 학습원리>

학습원리 5. 수학적 구조를 찾고 반복되는 결과에서 규칙성을 찾아 표현하기

1. 형신이의 설명에서 여러분은 다른 실천 원리를 발견할 수 있는지 찾아봅시다.

2. 형신이가 한 것처럼 여러분들도 이 단원의 또 다른 문제를 해결하는 과정에서 사용한 수학 학습원리를 찾아보고 이를 설명해 봅시다.

[나의 반성]

<수학 학습원리>