■ 수학 가형 18번

고교 교육과정 확률과 통계 과목에서 확률밀도함수 [eqn: f(x)]를 배우는 것은 그 함수의 정의 [eqn: f(x)=`1over {root2pi sigma}``e^{- (x-m)^2 over2sigma^2}]와 이 곡선의 특징을 그림을 통해 직관적으로 배웠을 뿐이다. 그래서 두 확률밀도함수의 함숫값의 크기를 대소 관계로 나타낸 부등식 [eqn: f(12)≤g(20)]을 해석하는 것은 불가능하며, 교육과정 위반이다.

교과서에서 다루는 발전 문제나 사고력 문제 등 최고 수준의 문제는 다음과 같다. 학교 교육을 정상적으로 받은 학생이 18번 문제를 푸는 것은 불가능하니 사교육의 도움을 받지 않을 수 없다.

■ 수학 가형 21번

고교에서 다루는 함수는 변수가 하나뿐인데, 이 문제에 등장하는 변수는 너무 많고, 함수도 여러 개가 동시에 정의되어 문제의 뜻을 이해하는 것 자체가 불가능하다. 이런 문제는 교과서에서 전혀 볼 수 없다.

또한 한 함수에서는 상수였던 문자가 다른 함수로 가서 변수로 바뀌는 상황 역시 교육과정이나 교과서에서 전혀 경험할 수 없는 것이다.

움직이는 점 [eqn: (t`,``e^t`)]에서의 접선을 구해서 그것을 함수 [eqn: y`=f(x)]라 정의하고, 또 절댓값을 포함하는 새로운 함수 [eqn: y=|f(x)+k-ln`x|]를 정의한다. 여기까지는 상수였던 [eqn: t]와 [eqn: k]가 갑자기 변수로 바꾸면서 새로운 함수 [eqn: g(t)]를 정의한다. 결국은 [eqn: x]뿐만 아니라 [eqn: t]와 [eqn: k]도 모두 변수가 되는 상황은 교육과정에서 전혀 경험할 수 없다.

교과서에서 다루는 실력 기르기 등 최고 수준의 문제는 다음과 같다. 학교 교육을 정상적으로 받은 학생이 21번 문제를 푸는 것은 불가능하니 사교육의 도움을 받지 않을 수 없다.

■ 수학 가형 30번

두 곡선이 오직 한 점에서 만난다는 조건은 그냥 만난다는 것으로만 해석하면 문제를 풀 수 없다. 문제의 해결은 결국 교점(交點)에서 서로 접(接)한다는 것으로 해석해야 가능한데, 이것은 고교 교육과정에 없고 대학의 미분적분학에서 다루는 내용이다.

미분에서 접한다는 것은 곡선 위의 한 점에서 접하는 직선(접선)을 의미하고, 그 직선의 방정식을 구하는 것이 고교 교육과정이다. 두 곡선이 오직 한 점에서 만난다는 조건은 결국 그 점에서 서로 접한다는 것으로 해석해야 이 문제를 풀 수 있는데, 이것은 고교 교육과정에 없고 대학의 미적분학에서 다루는 내용이다.

두 곡선이 접한다는 것은 그 접점에서 공통접선을 가진다는 해석도 고교 교육과정에서 다루지 않는다. 두 곡선이 접하면 접점에서 공통접선을 갖는다는 것은 전혀 유추할 수 없는 내용이며, 교과서 어디에도 명시되어 있지 않는 대학 과정의 성질이다.

대학 미분적분학 교재(한양대출판부)를 보면 도함수의 응용 단원에 곡선의 추적이라는 주제를 다음과 같이 다룬다.

세 번째 그림에서 공통접점 또는 공통접선의 개념이 정의되는데, 접선이 하나뿐일 때를 공통접점으로 정의하고 있다. 그러나 고등학교 교과서에는 이런 개념을 다루지 않는다. 세 번째 그림에서 점선이 두 곡선의 공통접선이다.

■ 수학 나형 15번

고교 교육과정에서 [eqn: sum_k=m ^m+1 S_k]라는 기호는 사용하지 않는다. 교육과정에서 사용하는 수열의 합의 기호는 [eqn: sum_k=1^n`a_k]이며 이것을 [eqn: S_n]이라 하면 [eqn: sum_k=m ^m+1 S_k]는 그 합의 합이 되어 이중합(二重合)을 나타낸다. 즉 [eqn: sum_k=m ^m+1 S_k`=sum_k=m ^m+1 left(sum_n=1^k`a_n right)]과 같이 합의 기호 시그마가 이중으로 계산되는 것이나 마찬가지기 때문에 교육과정 위반이다.

수학 문제에서 그 용어나 기호는 대단히 중요하며 조심스럽게 사용해야 한다. 수능 시험을 출제한 평가원은 2015 대학별 고사의 선행교육규제법 준수 여부를 판정하는 기준으로 고교 교육과정에 사용하지 않은 용어의 사용에 대하여 불가 판정을 내린 적이 있다. 다음 표는 평가원이 만들어 선행교육위반 심의 기준의 기초가 된 「(2015) 대학별 고사의 선행학습 영향평가 결과 분석」 보고서에서 ‘대학별고사(수리논술) 시행 및 교육과정 관련 판단 기준틀’의 일부를 발췌한 것이다.

이 기준은 대학별 고사의 교육과정 관련 판단 기준틀의 기초가 되었으며  교육부와 한국교육과정평가원이 공동으로 만들어 사용하던 것이다. 지극히 정상적인 기준이다. 여기서 교육과정을 넘어서는 용어나 기호는 교육과정에 나오지 않는 용어와 기호라고 할 수 있다. 이 기준에 의해 적발된 기호는 가우스 함수([eqn: [x]])도 포함되어 있다.

수학과 교육과정에서 사용하는 <용어와 기호>는 철저히 교육과정에 규정하고 있다. 새로운 용어를 정의하는 것은 교육과정을 늘리는 것과 다름이 없다. 교육과정에 없는 용어나 기호를 맘대로 정의하고 사용하는 것은 교육과정의 내용과 수준을 벗어났으므로 명백한 교육과정 위반이다.

■ 수학 나형 17번

수열의 기호 [eqn: a_k]와 함수의 기호 [eqn: f(x)]를 섞어서 만든 [eqn: f(a_k`)]라는 기호는 고교 교육과정에서 사용하지 않는 기호다. 더구나 문제에서는 [eqn: (-1)^{f(a_k`)}]라는 기호도 사용하고 있어 교육과정 위반이다.

수학 문제에서 그 용어나 기호는 대단히 중요하며 조심스럽게 사용해야 한다. 수능 시험을 출제한 평가원은 2015 대학별 고사의 선행교육규제법 준수 여부를 판정하는 기준으로 고교 교육과정에 사용하지 않은 용어의 사용에 대하여 불가 판정을 내린 적이 있다. 다음 표는 평가원이 만들어 선행교육위반 심의 기준의 기초가 된 「(2015) 대학별 고사의 선행학습 영향평가 결과 분석」 보고서에서 ‘대학별고사(수리논술) 시행 및 교육과정 관련 판단 기준틀’의 일부를 발췌한 것이다.

이 기준은 대학별 고사의 교육과정 관련 판단 기준틀의 기초가 되었으며 교육부와 한국교육과정평가원이 공동으로 만들어 사용하던 것이다. 지극히 정상적인 기준이다. 여기서 교육과정을 넘어서는 용어나 기호는 교육과정에 나오지 않는 용어와 기호라고 할 수 있다. 이 기준에 의해 적발된 기호는 가우스 함수([eqn: [x]])도 포함되어 있다.

수학과 교육과정에서 사용하는 <용어와 기호>는 철저히 교육과정에 규정하고 있다. 새로운 용어를 정의하는 것은 교육과정을 늘리는 것과 다름이 없다. 교육과정에 없는 용어나 기호를 맘대로 정의하고 사용하는 것은 교육과정의 내용과 수준을 벗어났으므로 명백한 교육과정 위반이다.

■ 수학 나형 21번

이 문항은 홀수 항과 짝수 항이 서로 다른 규칙으로 이뤄져 있고 귀납적으로 정의된 수열인데, 첫째항부터 63번째 항까지의 합을 요구하고 있어서 다음 두 가지 교육과정의 <교수․학습상의 유의점>을 위반했다.

① 여러 가지 수열의 합에서는 자연수의 거듭제곱의 합 [eqn: sum _{k=1} ^{n} k,` sum _{k=1} ^{n} k ^{2} ,`` sum _{k=1} ^{n} k ^{3}]과 수열의 합이 간단한 것만 다룬다.

② 수열과 관련된 실생활 문제를 귀납적으로 표현할 수 있게 하고, 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 다루지 않는다.

이 문항은 실생활 상황을 다룬 문제도 아니고 요구하는 것이 수열의 귀납적 정의의 차원을 벗어난다. 일반항 구해야 하는 것과 마찬가지 작업이 필요하기 때문에 <교수․학습상의 유의점>을 위반한 것이다.

수열의 귀납적 정의를 다루는 교과서의 문제는 다음과 같다. 교육과정에서 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제를 다루지 않도록 했으니 교과서의 문제 자체가 난도가 높은 것은 없다. 따라서 학교 교육을 정상적으로 받은 학생이 21번 문제를 푸는 것은 불가능하고 사교육의 도움을 받지 않을 수 없다.