대학별 고사 문항 분석 기준

① 교육과정 성취기준 또는 평가기준에 명시된 사항을 벗어난 경우

② 교육과정 성취기준 또는 평가기준에 명시되지 않은 내용을 출제한 경우

③ 대학과정의 내용이 포함되어 출제된 경우

#붙임 : 2023학년도 대학별 고사 교육과정을 벗어난 문제 판정 근거

서울 15개 대학의 2023학년도 대학별 고사 논술‧구술전형 자연계열 수학 문제 중

교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문제의 판정 근거

대학		전형	해당 문제		교육과정을 벗어난 문제에 대한 구체적인 판정 근거	유형			문항수	비 율 (%)
NO	대학명		문항 카드 번호	소문항 번호		①	②	③
1	건국대	논술	3	5	□ ‘가우스 기호’의 사용(대학과정 내용)			□	1	10
2	경희대	논술	·	·	·	·	·	·	0	0
3	고려대	구술 면접	7	2	□ ‘멱집합 개념과 기호’의 사용(대학과정 내용)			□	1	20
4	동국대	논술	8	2	□ ‘이산확률변수의 기댓값과 분산의 극한’ (교육과정 성취기준/평가기준 벗어남)	□			2	28.6
			9	3-(1)	□ ‘계차수열’을 이용하여 수열의 일반항을 구함. (이전 교육과정 학습 내용이 포함됨)		□
5	서강대	논술	6	2-2	□ ‘절댓값이 있는 삼각함수’의 미분가능성 (교육과정 평가 방법 및 및 유의 사항 벗어남)	□			2	12.5
			7	1-2	□ 도형의 방정식과 관련한 복잡한 계산 포함 (교육과정 평가 방법 및 유의 사항 벗어남)	□
6	서울대	면접 구술	1A	1-1	□ 세 번 합성한 함수의 그래프 그리기 (교육과정 성취기준/평가방법 벗어남)	□			10	76.9
				1-2		□
				1-3		□
			1B
				1-1		□
				1-2		□
				1-3		□
			문제 2	2-1	□ 새로운 용어인 ‘뒤집기 수열’을 정의함.		□
				2-2			□
				2-3			□
				2-4			□
7	서울시립대	논술	Ⅱ	4	□ 부등식에 관한 ‘수열의 합([eqn: rm SIGMA])’과 ‘적분’의 성질 (대학과정 내용)			□	1	10
8	성균관대	논술	8	2-iv	□ 교육과정을 벗어난 ‘연립이차방정식’의 풀이 (교육과정 교수 학습 방법 벗어남)	□			5	25
		논술	9	3-III	□ [eqn: rm R _{n}], [eqn: s _{n}], [eqn: P _{n}], [eqn: Q _{n}] 기호로 인해 풀이가 복잡함. (교육과정 교수·학습 방법 및 유의사항 벗어남)	□
		논술	10	1-II	□ 경우의 수를 구하는데 과정이 지나치게 복잡함. (교육과정 평가 방법 및 유의 사항 벗어남)	□
		논술	12	3-II	□ [eqn: |` lim _{h -> c} {} f(x)`|= lim _{h -> c} {} |`f(x)`|](대학과정 내용)			□
		논술	12	3-III	□ 절댓값이 포함된 함수 [eqn: A(t)]의 그래프 그리기 □ ‘삼차함수의 대칭성’ 이용함. (고등학교 교유과정에서 다루지 않는 내용)		□

대학		전형	해당 문제		교육과정을 벗어난 문제에 대한 구체적인 판정 근거	유형			문항수	비 율 (%)
NO	대학명		문항 카드 번호	소문항 번호		①	②	③
9	숙명여대	논술	5	1-1	□ ‘함수방정식’ (대학과정 내용)			□	5	83.3
		논술	5	1-2	□ ‘분수방정식’ 이용			□
		논술	5	2-1	□ ‘수열의 점화식’ 내용 포함 (교육과정 교수·학습방법 및 유의 사항 벗어남)	□
				2-2	□ ‘수열의 점화식’ 내용 포함 (교육과정 교수·학습방법 및 유의 사항 벗어남)	□
		논술	5	3-1	□ ‘볼록함수’ (대학과정 내용)			□
10	연세대	논술	3	1-2	□ ‘표준분해’에 따른 약수의 개수, ‘제곱수’ (대학과정 내용)			□	8	80
		논술	3	1-3	□ 세 사건 이상에서의 독립사건을 다룸 (교육과정 평가 방법 및 유의 사항 벗어남)	□
		논술	4	2-1	<제시문은 대학과정 ‘측도론’의 내용과 동일함> □ 공집합의 길이는 0이다 (대학과정 내용) □ [eqn: min(a,b)] 기호 표현(대학과정 내용)			□
		논술		2-2	<제시문은 대학과정 ‘측도론’의 내용과 동일함> □ 공집합의 길이는 0이다 (대학과정 내용) □ [eqn: min(a,b)] 기호 표현(대학과정 내용)			□
		논술		2-3	□ [eqn: min(a,b)] 기호 표현(대학과정 내용)			□
		논술		2-4	□ ‘절댓값이 포함된 함수’의 그래프 그리기 (교육과정 밖의 내용)		□
		논술	5	3-1	□ ‘자취’의 개념으로 ‘타원(이차곡선)’을 도입함. (교육과정 교수·학습 방법 및 유의사항 벗어남)	□
		논술		3-3	□ 두 원의 위치관계 다룸 (이전 교육과정 내용)		□
11	이화여대	논술	7	1-(1)	□ ‘절댓값이 포함된 함수’의 그래프 그리기 (교육과정 밖의 내용)		□		7	70
		논술		1-(2)	□ ‘절댓값이 포함된 함수’의 그래프 그리기 (교육과정 밖의 내용)		□
		논술		1-(3)	□ ‘절댓값이 포함된 함수’의 그래프 그리기 (교육과정 밖의 내용)		□
		논술		1-(4)	□ ‘절댓값이 포함된 함수’의 그래프 그리기 (교육과정 밖의 내용)		□
		논술	8	2-(1)	□ ‘절댓값이 포함된 함수’의 그래프 그리기 (교육과정 밖의 내용)		□
		논술		2-(2)	□ ‘절댓값이 포함된 함수’의 그래프 그리기 (교육과정 밖의 내용)		□
		논술		2-(3)	□ ‘절댓값이 포함된 함수’의 그래프 그리기 (교육과정 밖의 내용)		□

대학		전형	해당 문제		교육과정을 벗어난 문제에 대한 구체적인 판정 근거	유형			문항수	비율
NO	대학명		문항 카드 번호	소문항 번호		①	②	③
12	중앙대	논술	8	2-2	□ ‘함수 방정식’ (대학과정 내용)			□	4	40
		논술	9	3-1	□ ‘삼각함수의 일반각’ (대학과정 내용)			□
		논술	14	2-2	□ 복잡한 미분과정 (교육과정 평가 방법 및 유의사항 벗어남)	□
		논술	15	3-2	□ 복잡한 음함수 표현, 복잡한 음함수 미분 (교육과정 교수·학습 방법 및 유의사항 벗어남)	□
13	한국외대	논술	5	7	□ ‘절댓값이 포함된 함수’의 그래프 그리기 (교육과정 밖의 내용)		□		2	20
		논술		9	□ ‘이항연산’ (대학과정 내용)			□
14	한양대	논술	7	1-3	□ 부등식에 관한 ‘‘적분’의 성질 (대학과정 내용)			□	3	16.7
		논술	8	2-3	□ ‘수열의 합([eqn: SIGMA])‘의 기호표현 [eqn: sum _{k=0} ^{{n} over {3}} ` _{n} C _{k}] □ 부등식에 관한 ‘수열의 합([eqn: rm SIGMA])’의 성질 (대학과정 내용)			□
		논술	9	1-3	□ ‘이항계수의 대칭성’(교육과정 성취기준 벗어남))	□
15	홍익대	논술	5	1-(3)	□ (3)문항은 대학교재의 연습문제와 동일한 문제임.			□	15	53.5
		논술	6	2-(1)	□ 새로운 용어 ‘n번 반복 코드’ 정의함.		□
		논술		2-(2)			□
		논술		2-(3)			□
		논술	7	3-(1)	□ 제시문은 밀도와 질량에 대한 이중적분 내용 (대학과정 내용) □ ‘가우스 기호’의 사용(대학과정 내용) □ [eqn: m _{k}], [eqn: M _{k}] 기호 사용(대학과정 내용)			□
		논술		3-(2)				□
		논술		3-(3)				□
		논술		3-(4)				□
		논술	9	2-(1)	□ 함수열 기호 표현 [eqn: y _{1} (t)], [eqn: y _{2} (t)], [eqn: v _{1} (t)], [eqn: v _{2} (t)] (대학과정 내용)			□
		논술		2-(2)				□
		논술		2-(3)				□
		논술	10	3-1	□ 제시문은 ‘지수분포’ 내용 (대학과정 내용) □ [eqn: P(A _{n} )] 기호 표현(대학과정 내용)			□
		논술		3-2				□
		논술		3-4	□ 서로 독립인 n개의 사건을 다룸 (교육과정 평가 방법 및 유의 사항 벗어남)	□
		논술		3-5	□ 서로 독립인 n개의 사건을 다룸 (교육과정 평가 방법 및 유의 사항 벗어남)	□
총 계						21	19	26	66	35.7

※ 각 대학별 출제 문제 중 고등학교 교육과정을 벗어난 문제로 판정된 것만 표로 정리하였습니다.

※ 위 표 항목 중 ‘비율(%)’은 각 대학별 ‘교육과정을 벗어난 문제 수’를 각 대학별 ‘총 출제 문항‘으로 나눈 값입니다

※ 서울 15개 대학에서 출제한 2023학년도 자연계열 논·구술전형 수학 문제의 전체 문항 수는 185개입니다.

건국대학교

▶ 건국대학교 - KU논술우수자전형 – 자연계A(수학) - 문제 5번

문항 및 제시문	[제시문5 - (가)/(나)], [문제 5번]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □정수론□ - 가우스 기호

□ [제시문5]의 (가)와 (나)에는 고등학교 교육과정에서 다루지 않는‘가우스 기호([])’가 소개되어 있습니다. ‘가우스 기호([])’는 대학 수학 교재 □정수론□에서 다루는 내용입니다.

□ [제시문5]의 (나)에는 수열의 합([eqn: SIGMA])과 가우스 기호([])가 함께 사용되어 있는데 여기에서 사용된 수식은 고등학교 교육과정에서 다루는 내용이 아니며 대학 수학 교재 □정수론□(정리2.2.10)에서 다루는 내용과 유사합니다. [문제5]는 [제시문5]의 (나)를 이용하여 해결해야 하는 문제이므로 [문제5]는 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어나 출제된 문항으로 판정됩니다.

고려대학교

▶ 고려대학교 – 수시모집 일반전형 – 자연계열(오전) - 2번

문항 및 제시문	[제시문(나),(다)], [문제 2번]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □위상수학□ - 멱집합, 부분집합의 원소의 개수 증명

2015 개정 수학과 교육과정	□수학□ ‘집합’ - 학습 요소(기호 표현)

□ [2번 문항]은 ‘경우의 수의 곱의 법칙[제시문(다)]’을 이용해 ‘집합 [eqn: A]의 부분집합의 수가 [eqn: 2 ^{n(A)}]임[제시문(나)]’을 증명하는 문제입니다. 하지만 부분집합의 개수와 관련된 명제를 증명하는 것은 대학 수학 교재 위상수학□에서 다루는 내용으로 고교 교육과정에서 다루는 내용이 아닙니다. 또한, [제시문(나)]에서 집합 A의 부분집합들의 모임을 P라고 정의하는 것은 대학 수학 교재 위상수학□에서 다루는 ‘멱집합(Power set)’과 동일한 개념에 해당합니다.

동국대학교

▶ 동국대학교 – 수시모집 논술전형 – 자연계열 – 문제2

문항 및 제시문	[문제2]

2015 개정 수학과 교육과정	□확률과 통계□ ‘통계’ - 성취기준

2015 개정 수학과 교육과정 평가기준	□확률과 통계□ ‘통계’ - 평가기준

□ [문제2]는 이산확률변수 [eqn: rmX]의 기댓값([eqn: rm E(X)])와 분산([eqn: rmV(X)])의 극한값을 구하는 문제에 해당합니다. 하지만 고등학교 수학 선택과목인 □확률과 통계□의 교육과정 성취기준에는‘이산확률변수의 기댓값(평균)과 표준편차를 구할 수 있다.’로 제시되어 있어 이산확률변수의 극한값을 구하는 것은 교육과정 성취기준의 수준을 벗어나는 내용에 해당합니다.

□ [문제2]에 있는 것과 같이 이산확률변수 [eqn: rmX]의 기댓값([eqn: rm E(X)])와 분산([eqn: rmV(X)])의 극한값을 구하는 문제는 교육과정 평가기준 상/중/하의 어느 수준에도 포함되지 않는 문제입니다. 따라서 [문제2[는 교육과정 성취기준과 평가기준의 범위와 수준을 벗어나 출제된 문항으로 판정됩니다.

▶ 동국대학교 – 수시모집 논술전형 – 자연계열 – 문제3

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제3-(1)], [예시 답안]

2007 개정 수학과 교육과정	□수학Ⅰ□ ‘수열’ - 용어와 기호

2015 개정 수학과 교육과정	□수학Ⅰ□ ‘수열’ - 용어와 기호

□ [문제3-(1)]에 주어진 수열 [eqn: t_n]의 일반항을 구하기 위해서는 현 2015 개정 수학과 교육과정에서 다루지 않는‘계차수열’의 개념을 이용해야 합니다.‘계차수열’과 관련된 개념은 이전 교육과정인 2007 개정 수학과 교육과정의 □수학Ⅰ□교과에서 다루었던 내용이지만 현 교육과정에서는 삭제된 내용입니다. 따라서 본 문항은 이전 교육과정의 내용의 개념을 이용하고 있으므로 교육과정을 범위와 수준을 벗어난 문항에 해당합니다.

서강대학교

▶ 서강대학교 – 논술(일반)전형 – 자연계열 1차 2번 – 2-2문제

문항 및 제시문, 예시 답안	[2-2문제], [2-2 예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□수학Ⅱ□ 성취기준 / 평가 방법 및 유의 사항

2015 개정 수학과 교육과정 교수·학습 안내자료	‘미분가능성’에 대한 복잡한 문항 예시

□ [2-2문제]는 함수 [eqn: S(t)]의 미분가능성을 조사하는 문제에 해당합니다. 함수 [eqn: S(t)]는 앞선 문제인 [2-1문제]에서 구한 결과에 따라 [eqn: S(t)=|`sin(t ^{2} )`|]임을 알 수 있습니다. 하지만 주어진 함수 [eqn: S(t)]는 삼각함수와 다항함수의 합성함수와 절댓값이 포함되어 있는 복잡한 함수에 해당합니다. 또한, 함수 [eqn: S(t)]가 미분가능하지 않은 점을 찾기 위해서 절댓값의 부호가 양수와 음수인 경우를 나누어 각각의 경우에 따라 삼각함수의 극한과 무리함수의 극한을 계산해야 합니다. 이러한 문제는 두 연속함수의 합성함수가 연속함수임을 알고 함수의 미분가능성과 연속성의 관계를 이해하고 있는 학생이라 하더라도 복잡한 계산과정으로 인해 교육과정 성취기준인‘미분가능성과 연속성의 관계를 이해한다.’의 도달 여부 판단하기 어려운 문항에 해당합니다.

▶ 서강대학교 – 논술(일반)전형 – 자연계열 2차 1번 – 1-2문제

문항 및 제시문, 예시 답안	[1-2문제], [예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□수학□ 평가 방법 및 유의 사항

□ [1-2문제]는 주어진 조건을 만족하는 원의 반지름을 구하는 문제입니다. 원의 반지름을 구하는 과정에서 점과 직선사이의 거리, 원과 직선의 위치관계를 이용해야 합니다. 풀이하는 과정 중에 복잡한 무리식의 계산, 무리수와 실수의 대소비교, 절댓값의 부호에 따라 2가지 경우로 나누어서 만족하는 경우를 찾아야 합니다. 또한 결과적으로 구한 반지름의 길이도 복잡한 무리수의 형태를 취하고 있습니다. 이 문항은 상당히 복잡한 계산과정을 포함하고 있어 학생들로 하여금 계산 실수를 유도하기 쉬운 문제입니다. 이러한 계산력 배양을 위한 문제로는 학생들의 성취수준을 올바르게 판단할 수 없습니다. 뿐만 아니라 교육과정 평가 방법 및 유의 사항에서도‘도형의 방정식은 계산이 복잡한 문항은 다루지 않는다.’라고 명시하고 있어서 본 문항은 교육과정의 범위와 수준을 벗어나 출제된 문항으로 판단할 수 있습니다.

서울대학교

▶ 서울대학교 – 면접 및 구술고사 – 수학 1_A / 수학 1_B – 문제1(1-1, 1-2, 1-3)

문항 및 제시문, 예시 답안	[1-1문제, 1-2문제, 1-3문제]

2015 개정 수학과 교육과정	□수학□, □수학Ⅱ□, □미적분□ 평가 방법 및 유의 사항

2015 개정 수학과 교육과정 교수·학습 안내자료	‘미분가능성’에 대한 복잡한 문항 예시

□ [1-1문제], [1-2문제], [1-3문제]를 풀기위해서는 함수 [eqn: g(x)]를 세 번 합성한 함수인 합성함수 [eqn: g(g(g(x)))]의 그래프를 그릴 수 있어야 합니다. 하지만 고등학교 교육과정에서는‘합성함수의 그래프를 그릴 수 있다’와 같은 교육과정 성취기준은 존재하지 않습니다. [1-1문제]는 미분가능성을 판단하는 문제로 교육과정 평가방법 및 유의사항에 제시된 내용을 벗어납니다.(□수학Ⅱ□) [1-2문제]는 주어진 실수 [eqn: a]의 범위에 따라 함숫값을 비교해야 하여 경우의 수가 많아 학생들이 함수의 그래프의 성질을 알고 그 그래프를 이해하고 있는지 평가하는 문항으로 적절하지 않습니다(□수학□). [1-3문제]의 정적분의 값을 구하는 과정에도 함수자체가 복잡하여 그 계산과정이 지나치게 복잡합니다. (□미적분□)

▶ 서울대학교 – 면접 및 구술고사 – 수학 2 – 문제1(2-1, 2-2, 2-3, 2-4)

문항 및 제시문, 예시 답안	[1-1문제, 1-2문제, 1-3문제]

선행교육 예방을 위한 교과별 안내자료	평가 시 유의 사항 – 새로운 용어 및 기호 사용

□ [문제2]의 제시문에 새로운 용어인‘뒤집기 수열’을 정의하고 있으며 [2-1문항], [2-2문항], [2-3문항], [2-4문항]은 새롭게 정의된 ‘뒤집기 수열’을 이용하여 해결해야하는 문제입니다. 하지만 ‘뒤집기 수열’은 본 문항에서 새롭게 정의된 용어로서 고등학교 교육과정에서 다루는 용어가 아닙니다. 또한 한국교육과정평가원에서 발표한 □선행교육예방을 위한 교과별 안내자료□에서도 새로운 용어와 기호를 문제에서 정의하여 출제하는 것을 지양해야 한다고 명시되어 있습니다. 따라서 본 문항은 교육과정의 범위와 수준을 벗어나 출제된 문항에 해당합니다.

서울시립대학교

▶ 서울시립대학교 – 수시모집 논술전형 – 자연계열Ⅱ - 문제 4

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 4], [예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□수학Ⅱ□, □수학Ⅰ□ 교육과정 성취기준

대학과정 내용	대학 수학 교재 □해석학□ - 적분의 비교정리

□ [문제4]에 제시된 부등식이 성립함을 보이기 위해서 [예시 답안]에서 이용된‘정적분과 부등식에 대한 성질’과‘수열의 합(시그마)과 부등식에 대한 성질’은 고등학교 교육과정 성취기준을 벗어나는 내용입니다. 고등학교 □수학Ⅰ□교과서에서는‘수열의 합(시그마)’과 관련해 수열의 합과 차, 실수배에 관한 성질만 다루며 부등식과 관련된 성질([eqn: a _{n} <= b _{n}]이면 [eqn: SIGMA ``a _{n} <= ` SIGMA ``b _{n}])은 다루지 않습니다. 또한 □수학Ⅱ□에서는 부정적분의 성질과 관련해서 함수의 합과 차, 실수배에 관한 성질만 다루고 있으며 적분의 부등식과 관련된 성질은 다루지 않습니다. 이러한 성질은 대학 수학 교재‘해석학’에서 다루는 내용입니다. 따라서 본 문항은 고등학교 교육과정 성취기준을 벗어나 대학과정의 내용을 이해하고 있어야 하는 풀 수 있는 문항에 해당합니다.

성균관대학교

▶ 성균관대학교 – 논술우수전형 – 자연계 1교시 - 문제 2번 – 문제 2-iv

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 2-Iv], [예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□수학□ 교수·학습 방법 및 유의사항

□ [문제 2-iv]는 풀기위해서는 [eqn: rmN]이 자연수 일 때, 연립이차방정식 [eqn: {cases{xy=rmN&#x ^{2} +y ^{2} -xy=6&}}]을 풀어야 하며, 한 식을 다른 식에 대입하여 푸는 과정에서 4차 방정식이 만들어지며, 방정식의 근의 존재 유무를 확인하는 과정에서 [eqn: x ^{2} =rmX]로 지환하고 각각의 N의 따라 무려 8개의 이차방정식을 풀어야하기 때문에 풀이과정이 지나치게 복잡합니다. 연립이차방정식의 풀이와 관련해 고등학교 교육과정 교수·학습 방법 및 유의 사항에는 ‘미미지수가 2개인 연립이차방정식은 두 이차식 중 한 이차식이 간단히 인수분해 되는 경우만 다룬다.’라고 되어 있습니다. 위 연립이차방정식에서 한 이차식이 간단히 인수분해 되지도 않으며, 그 풀이과정도 지나치게 복잡하기 때문에 본 문항은 교육과정 교수·학습 방법 및 유의사항을 벗어나 출제된 것으로 판정됩니다.

▶ 성균관대학교 – 논술우수전형 – 자연계 1교시 - 문제 3번 – 3-iII

문항 및 제시문, 예시 답안	[제시문 3], [문제 3-iii], [예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□수학Ⅰ□ 교육과정 성취기준, 교수·학습 방법 및 유의사항

□ [제시문 3]에는 무려 4개의 수열에 대한 기호([eqn: rm R _{n}], [eqn: s _{n}], [eqn: P _{n}], [eqn: Q _{n}])가 새롭게 정의되어 있으며, 수학적 귀납법을 이용해 [3-III]을 증명하는 과정에도 기호의 복잡성과 부등식의 성질 등, 복잡한 대수적인 식의 계산이 포함되어 있어 그 계산 과정이 상당히 복잡합니다. 이것은 학생들이 수학적 귀납법을 이용하여 명제를 증명하는 것에 방해 요소로 작용하게 됩니다. 뿐만 아니라‘수학적 귀납법에 의한 증명은 원리를 이해라 수 있는 정도로 간단하게 다룬다.’라고 명시되어 있는 교육과정 교수·학습 방법 및 유의 사항을 준수하지 못한 문항에 해당합니다.

▶ 성균관대학교 – 논술우수전형 – 자연계 2교시 - 문제 1번 – 문제 1-iI

문항 및 제시문, 예시 답안	[제시문 3], [문제 1-ii], [예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□수학□ 교육과정 평가 방법 및 유의 사항

□ [제시문 3]에는 집합 [eqn: M]을 절댓값과 부등호, 쉽표가 혼합되어 있는 복잡한 형태의 조건제시법 형태로 표현되어 있습니다. 하지만 이러한 복잡한 형태로 제시된 집합의 표현 방법은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어나는 표현이며 학생들이 집합의 조건제시법에 대한 이해를 어렵게 만듭니다.

□ [문제1-II]는 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구하는 것이 핵심이지만 자연수의 성질과 부등식, 순서쌍을 다루는 등 복잡한 계산 과정이 포함된 문항입니다. 따라서 경우의 수와 관련된 교육과정 평가 방법 및 유의사항을 준수하지 않은 문항으로 판정됩니다.

▶ 성균관대학교 – 논술우수전형 – 자연계 2교시 - 문제 3번 – 문제 3-iI

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 3-II], [예시 답안]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □해석학□ - 함수의 극한과 절댓값

□ [문제 3-II]의 [eqn: A(t)]를 구하는 과정에서 고등학교 교육과정에서 다루지 않는 극한과 절댓값에 대한 성질을 아무런 증명과정 없이 사용하고 있습니다. [eqn: |` lim _{h -> c} {} f(x)`|= lim _{h -> c} {} |`f(x)`|]와 같은 극한의 성질은 대학 수학 교재 □해석학□에서 다루는 내용에 해당합니다. 따라서 본 문항은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어나 대학과정의 내용을 다룬 문항으로 판정됩니다.

▶ 성균관대학교 – 논술우수전형 – 자연계 2교시 - 문제 3번 – 문제 3-iII

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 3-III], [예시 답안]

교육과정 밖의 내용	삼차함수의 대칭성 - 변곡점과 극점 사이의 비율

□ [문제 3-III]를 해결하기 위해서는 앞선 문제인 [문제 3-II]에서 구한 절댓값이 포함된 삼차함수인 [eqn: A(t)]의 그래프를 그리는 것이 필수적입니다. 하지만 고등학교 교육과정에서는 절댓값이 포함된 함수의 그래프를 그리는 것은 관련 성취기준도 없을 뿐더러 해당되는 내용도 없습니다. 그 뿐만 아니라 함수 [eqn: A(t)]의 극솟값을 갖는 [eqn: t]의 값을 구하는 과정에서 교육과정에서 다루지 않는‘삼각함수의 대칭성’과 관련된 공식을 이용하고 있습니다. 따라서 [문제 3-III]은 고등학교 교육과정을 벗어난 내용을 이용하여 문제를 해결하고 있으므로 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문제라고 판정할 수 있습니다.

숙명여자대학교

▶ 숙명여자대학교 – 논술우수자전형 – 자연계열 – 1-1/1-2

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 1-1] [예시 답안] / [문제 1-2] [예시 답안]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □함수방정식과 부등식 이론에 대한 소개□ - 함수방정식

대학과정 내용	대학 수학 교재 □대학미적분학□ - 분수방정식

□ [1-1 문항]에 주어진 식 [eqn: f(x+1)=(x+1)f(x)]는 전형적인‘함수방정식’형태의 식입니다.‘함수방정식’은 고등학교 교육과정에서 다루는 내용이 아니며 대학 수학 교재 □함수방정식과 부등식 이론에 대한 소개(An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities)□에서 다루는 내용에 해당합니다.

□ [1-2 문항]에 있는 [eqn: u]값을 구하기 위해서는 [예시답안]에 제시되어 있는‘분수방정식’을 풀어야 합니다. 하지만‘분수방정식’은 고등학교 교육과정에서 다루는 내용이 아니며 대학 수학 교재 □대학미적분학□에서 다루는 내용에 해당합니다. 따라서 [1-1 문항]과 [1-2 문항]은 모두 대학과정의 내용을 출제한 것으로 판정됩니다.

▶ 숙명여자대학교 – 논술우수자전형 – 자연계열 – 제시문(다) / 문제 1-1 / 문제 1-2

문항 및 제시문, 예시 답안	[제시문(다)], [문제 2-1], [문제 2-2]

2007 개정 수학과 교육과정	□수학Ⅰ□ 교육과정 용어와 기호

2015 개정 수학과 교육과정	□수학Ⅰ□ 교수·학습 방법 및 유의 사항

□ [제시문(다)]에는 이전 교육과저에서 다루었던‘수열의 점화식’을 이용하여 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하고 있습니다. 수열의 점화식과 이를 이용해서 수열의 일반항을 구하는 내용은 현 교육과정인 2015 개정에서 다루지 않으며 고등학교 □수학Ⅰ□교과의 교수·학습 방법 및 유의사항에도‘귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 다루지 않는다.’라고 명시되어 있습니다. [문제2-1]과 [문제2-2]는
[제시문(다)]의 내용을 바탕으로 해결해야하는 문제에 해당해 두 문항 모두 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문항으로 판정됩니다.

▶ 숙명여자대학교 – 논술우수자전형 – 자연계열 – 제시문(마) / 문제 3-1

문항 및 제시문, 예시 답안	[제시문(마)], [문제 3-1], [예시 답안]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □해석학□ - 볼록함수

□ [제시문(마)]에는 고등학교 교육과정에서 다루지 않는‘볼록함수’와 관련된 부등식이이 소개되어 있으며 [3-1문항]을 핼 해결함에 있어서 제시문(마)의 내용을 이용하고 있습니다.‘볼록함수’개념뿐만 아니라 제시문(마)에 있는 수열이 포함된‘볼록함수에 대한 부등식의 성질’은 모두 대학 수학 교재 □해석학□에서 다루는 내용입니다. 따라서 [3-1문항]을 해결하기 위해서는 대학과정의 내용을 미리 알고 있어야 합니다. 따라서 [3-1문항]은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문항에 해당합니다.

연세대학교

▶ 연세대학교 – 논술전형 – 자연계열(수학) – [문제 1-2]

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 1-2] [예시 답안]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □정수론□ - 표준분해, 약수의 개수, 제곱수

□ [문제 1-2]는‘약수의 개수’를 이용하여 풀어야 하는 문제로 [예시 답안]에는 대학과정에서 배우는 정수 n에 대한‘표준분해’의 개념과 그 표준분해에 따른 정수 n의‘약수의 개수’,‘제곱수’의 개념이 포함되어 있습니다. [문제 1-2]의 [예시 답안]에 있는 정수 [eqn: n]을 [eqn: m]의 소수로 소인수분해하고 그에 대한 약수의 개수를 구하는 식은 고등학교 교육과정에서 다루지 않습니다. 뿐만 아니라‘제곱수’라는 용어도 고등학교 교육과정에서 다루는 용어가 아닙니다. 따라서 [문제 1-2]를 해결하기 위해서는 대학과정에서 배울 수 있는 생소한 식과 용어를 이용해야 하므로 본 문항은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문항에 해당합니다.

▶ 연세대학교 – 논술전형 – 자연계열(수학) 1번 – [문제 1-3]

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 1-3] [예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□확률과 통계□ 확률 단원 평가 방법 및 유의 사항

대학과정 내용	대학 수학 교재 □대학미적분학□ - 분수방정식, 전확률의 법칙

□ [문제 1-3]을 해결하기 위해서는 서로 배반인 세 가지 사건에 대한 확률을 구해야 하며 각각의 확률을 구하는 과정도 상당히 복잡합니다. 이는 고등학교 교육과정 평가 방법 및 유의 사항에서 명시하고 있는 에서‘세  사건 이상에서 서로 배반이거나 독립임을 가정하는 복잡한 문제는 다루지 않는다,’을 준수하지 않은 것입니다. 확률에서 서로 배반인 세 사건이상을 다루는 내용은 대학 수학 교재 □확률과 통계□에서‘분할’과‘전확률의 법칙’으로 다루는 내용에 해당합니다.

▶ 연세대학교 – 논술전형 – 자연계열(수학) 2번 – [문제 2-1], [문제 2-2], [문제 2-3], [문제 2-4]

문항 및 제시문, 예시 답안	[제시문2], [문제 2-1, 2-2, 2-3, 2-4], [2-4 예시 답안]

대학과정 내용	□적분과 측도이론□ - 집합의 길이

대학과정 내용	대학 수학 교재 □정수론□ - 최솟값

ㄴ

□ [제시문 2]에 있는 내용은 대학 수학 교재 □적분과 측도이론(An introduction to measure theory)□에서 다루는 내용과 동일합니다. 구체적으로는 ➀개구간과 반폐구간, 폐구간에 대한 구간의 길이, ➁서로다른 구간의 합집합으로 이루어진 구간의 길이, ➂공집합의 길이는 모두 고등학교 교육과정에서 다루지 않는 내용으로 대학과정에서는 집합의 길이를‘측도(measure)’라는 개념으로 설명하고 있습니다. 특히, [문제 2-1], [문제 2-2]는 [제시문 2]에서 집합의 길이로 정의한 함수 [eqn: g(t)]를 이용하여 해결해야 합니다. 따라서 [문제 2-1], [문제 2-2]는 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문항에 해당합니다.

□ [문제 2-3]에 있는‘[eqn: min(ax,bx+c)]’은 [제시문 2]에 정의되어 있는 의미로 표현하고 있지만, 이런 표현은 고등학교 교육과정 내에서 다루는 내용이 아니며 해당 내용은 대학 수학 교재 □정수론□에 나오는 개념으로 ‘두 수 중 최솟값’을 의미하는 기호 표현에 해당합니다.

□ [문제 2-4]에 있는 함수 [eqn: f(x)]는 절댓값이 포함되어있는 함수로 해당 문항을 풀기 위해서는 함수 [eqn: f(x)]의 그래프를 그리는 것이 필수적입니다. 하지만 고등학교 교육과정에서는 절댓값이 포함된 함수의 그래프를 그리는 것은 다루지 않습니다.

▶ 연세대학교 – 논술전형 – 자연계열(수학) 3번 – [문제 3-1], [문제 3-3],

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 3-1] [3-1 예시 답안] / [문제 3-3] [3-3 예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□기하□ - 이차곡선- 교수·학습 방법 및 유의 사항

7차 수학과 교육과정	□수학(10-나)□ - 두 원의 위치관계

교육과정 밖의 내용	자취의 방정식

□ [문제 3-1]에서 구하는 도형의 방정식 [eqn: M(x,y)]은 [제시문 3]의 조건을 만족하는 선분 PQ의 중점이 그리는 ‘자취’에 대한 방정식이며 결과적으로 구한 [eqn: M(x,y)]은 타원의 방정식임을 알 수 있습니다. 고등학교 교육과정에서는 이차곡선의 도입은‘원뿔을 절단해서 얻는 곡선임을 이해하는 하고, 이를 통해 기하학적 대상을 대수적으로 다룰 수 있음을 인식하게 한다.’라고 명시되어 있습니다, 또한‘자취’또는‘자취의 방정식’고등학교 교육과정에서 다루는 내용이 아닙니다.‘자취’라는 개념을 이용하여 문제의 조건에 맞는 도형의 방정식을 구하는 것은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 내용에 해당합니다.

□ [문제 3-3]에는 두 직선에 공통으로 접하는 반지름의 길이가 다른 두 원이 주어져 있습니다. 이를 이용해 문제를 해결하기 위해서는 현 고등학교 교육과정에서 다루지 않는‘두 원의 공통내접선’의 개념을 포함하는‘두 원의 위치관계’에 대한 내용을 알고 있어야 합니다.‘두 원의 위치관계’와 관련된 내용은 7차 수학과 교육과정의 □수학(10-나)□에서 다루었지만 현재 2015 개정 교육과정에서는 다루지 않는 내용입니다.

이화여자대학교

▶ 이화여자대학교 – 논술전형 – 자연계열 – 문항 1 - (1),(2),(3),(4)

문항 및 제시문, 문항 해설	[제시문], [문항 1-(1),(2),(3),(4)], [문항해설]

□ [문항 1]의 (가)에 주어진 함수 [eqn: f(x)]는 절댓값이 포함된 함수에 해당이며 하위 문제(1),(2),(3),(4)을 해결하기 위해서는 함수 [eqn: f(x)]의 그래프 즉, 절댓값이 포함된 함수의 그래프를 좌표평면 위에 그릴 수 있어야 합니다. 하지만 고등학교 교유과정에는 절댓값이 포함된 함수의 그래프를 그리는 것과 관련된 성취기준은 존재하지 않으며, 고등학교 어느 교과에서도 다루지 않는 내용입니다. 따라서 본 문항은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문항에 해당합니다.

▶ 이화여자대학교 – 논술전형 – 자연계열 – 문항 2 - (1),(2),(3)

문항 및 제시문, 예시 답안	[문항 2-(1),(2),(3)]

□ [문항 2]에 주어진 함수는 절댓값이 포함된 이차함수에 해당이며, 하위 문제(1),(2),(3)을 해결하기 절댓값이 포함된 이차함수의 그래프를 좌표평면 위에 그릴 수 있어야 합니다. 하지만 고등학교 교유과정에는 절댓값이 포함된 함수의 그래프를 그리는 것과 관련된 성취기준은 존재하지 않으며 고등학교 어느 교과에서도 다루지 않는 내용입니다. 따라서 본 문항은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문항에 해당합니다.

중앙대학교

▶ 중앙대학교 – 논술전형 – 자연계열Ⅰ(수학) – 문제 2 – 문제 2-2

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 2-2], [예시 답안]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □함수방정식과 부등식 이론에 대한 소개□ - 함수방정식

□ [문제 2-2]에 주어진 함수식은‘함수방정식’에 해당하며 [예시 답안]에 있는 풀이방법도 전형적인 함수방정식의 풀이에 해당합니다. ‘함수방정식’과 관련된 개념은 고등학교 교육과정에서 다루는 내용이 아니며, 대학 수학 교재 □함수방정식과 부등식 이론에 대한 소개□에서 다루는 내용에 해당합니다. 따라서 본 문항은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문항에 해당합니다.

▶ 중앙대학교 – 논술전형 – 자연계열Ⅰ(수학) – 문제 3 – 문제 3-1

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 3-2], [예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□수학Ⅰ□ 교수·학습 방법 및 유의 사항

대학과정 내용	대학 수학 교재 □복소해석학□ - 삼각함수의 영점

□ [문제 3-1]에 주어진 함수 [eqn: y=sin(lnx)]는 로그함수와 삼각함수가 합성된 함수로 이 함수 위의 점[eqn: t]에서 접선을 구하는 과정에서 [eqn: sin(lntt)=cos(ln(t)]와 같은 삼각함수가 포함된 방정식을 풀어야 합니다. [eqn: sin(lntt)=cos(ln(t)]와 같은 식은 삼각함수와 로그함수가 포함된 복잡한 방정식에 해당하며 그 풀이과정에서도 주어진 구간 내에서 방정식의 해를 구하는 것이 아닌 삼각함수의 일반각 형태로 삼각함수가 포함된 방정식의 해([eqn: lnt]의 값) 제시되어 있습니다. 다시 말해 삼각함수가 포함된 방정식에 삼각함수와 로그함수가 합성된 함수가 포함되어 있어 방정식의 형태가 간단하지 않으며 그 해를 구하는 과정에서 고등학교 교유과정에서 다루지 않는 삼각함수의 일반각의 형태로 그 해가 제시되어 있습니다. 삼각함수가 포함된 방정식의 해를 ‘일반각’형태로 다루는 것은 대학 수학 교재 □복소해석학□에서‘영점’이라는 개념으로 다루고 있습니다. 따라서 본 문항은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 출제된 문항에 해당합니다.

▶ 중앙대학교 – 논술전형 – 자연계열Ⅱ(수학) – 문제 2 – 문제 2-2

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 2-2], [예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□미적분□ ‘여러 가지 미분법’ - 교육과정 성취기준

2015 개정 수학과 교육과정	□수학Ⅱ□, □미적분□ - 평가 방법 및 유의 사항

□ [문제 2-2]는 도함수를 이용하여 곡선위의 점과 점P까지의 거리가 최소가 되는 좌표평면 위의 두 점을 찾아 그 사이의 곡선의 길이를 구하는 문제입니다. [문제 2-2]에 주어진 함수 는 이차함수와 무리함수가 함성된 함수에 해당해 이를 바탕으로 [예시답안]에서 새롭게 정의된 함수 [eqn: f(x)]는 이차함수와 무리함수의 합성함수와 다항함수의 합으로 이루어진 복잡한 형태의 함수입니다. 이 함수를 이용해 거리가 최소가 되는 점을 구하기 위해서 함수 [eqn: f(x)]를 미분해야 하는데 이 미분 과정이 지나치게 복잡하여 교육과정 성취기준인‘합성함수를 미분할 수 있다.’의 달성여부를 확인하기 보다는 복잡한 계산 능력에만 치중하게 만드는 문항에 해당합니다. 고등학교 교육과정의 평가 방법 및 유의 사항에‘여러 가지 미분법 및 도함수의 활용에서는 지나치게 복잡한 함수를 다루지 않는다.’라고 명시되어 있음에도 불구하고 이를 준수하지 않고 출제된 문항에 해당합니다.

▶ 중앙대학교 – 논술전형 – 자연계열Ⅱ(수학) – 문제 3 – 문제 3-2

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 3-2], [예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□미적분□ - 여러 가지 미분법 - 교수·학습 방법 및 유의 사항

2015 개정 교육과정 교수·학습 자료	□미적분□ 교수·학습 및 평가 자료

2015 개정 수학과 교육과정	[문제 3-2] ‘음함수 미분’에 필요한 교육과정 성취기준

2015 개정 수학과 교육과정	□미적분□ ‘여러 가지 미분법’ – 평가 방법 및 유의 사항

□ [문제 3-2]의 풀이에서 제시된 음함수 [eqn: (x-cost) ^{2} +( sqrt {x} -sint) ^{2} =1]에는 무리함수와 삼각함수를 포함하고 있는 복잡한 형태의 음함수 표현입니다. 이러한 음함수 표현은 직선, 원, 포물선 등의 일부를 나타내는 간단한 곡선이 아니므로 고등학교 교육과정 교수·학습 방법 및 유의사항에서 제시하고 있는 ‘매개변수로 나타낸 함수와 음함수는 간단한 것만 다룬다.’라는 것에 위배되는 것에 해당합니다.

□ [문제 3-2]의 풀이에서 제시된 음함수 [eqn: (x-cost) ^{2} +( sqrt {x} -sint) ^{2} =1]를 미분하기 위해서는 ➀함수의 곱의 미분법, ➁합성함수 미분법, ➂매개변수로 나타낸 함수의 미분법, ➃음함수의 미분법을 복합적으로 이용해야하기 때문에 음함수를 미분하는 과정이 상당히 복잡합니다. 이와 같이 여러 가지 미분법을 이용하는 과정에서 지나치게 복잡한 문제를 다루는 것은 교육과정 평가방법 및 유의사항을 벗어나는 것입니다.

한국외국어대학교

▶ 한국외국어대학교 – 논술전형 – 자연계열 7번

문항 및 제시문, 예시 답안	[7번 문항], [예시 답안]

□ [7번 문항]에 있는 함수 [eqn: g(x)]는 절댓값이 포함되어 있는 함수로 해당 문항을 풀기 위해서는 함수 [eqn: g(x)]의 그래프를 그리는 것이 필수적입니다. 하지만 고등학교 교육과정에서는 절댓값이 포함된 함수의 그래프를 그리는 것은 다루지 않습니다.

▶ 한국외국어대학교 – 논술전형 – 자연계열 9번

문항 및 제시문, 예시 답안	[9번 문항]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □현대대수학□ - 이항연산

□ [9번 문항]에 사용된 ‘[eqn: a]⨀[eqn: b]’의 기호 표현은 고등학교 교유과정에서 다루지 않는 기호 표현이며,  대학 수학 교재 □현대대수학□에서 다루는 ‘이항 연산’의 개념과 관련되는 것입니다. 따라서 두 실수 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대하여 두 실수의 관계를 새로운 기호‘[eqn: a]⨀[eqn: b]’를 사용해 정의하는 것은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 것에 해당합니다.

한양대학교

▶ 한양대학교 – 논술전형 – 자연계열(오후1)(수학) - 문제 1번 – 소문항 3번

문항 및 제시문, 예시 답안	[소문항 3번 문항], [예시 답안]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □해석학□ - 적분의 비교정리

2015 개정 수학과 교육과정	□수학Ⅱ□ ‘부정적분’ – 교육과정 성취기준

고등학교 교과서	□수학Ⅱ□ - 부정적분의 기본 성질

□ [1-3 문항]에 있는 부등식을 증명하는 과정에서 고등학교 교육과정에서 다루지 않는‘부등식과 관련된 적분의 성질’을 다루고 있습니다. 고등학교 교육과정에서 다루는‘부정적분의 기본성질’에는 함수의 실수배, 합, 차에 관한 성질만 다루며‘부등식과 관련된 적분의 성질’은 대학 수학 교재 □해석학□에서 다루는 내용입니다. 따라서 [1-3문항]은 고등학교 교육과정 성취기준을 벗어난 것뿐만 아니라 대학과정에서 배우는 내용을 알고 있어야 풀 수 있는 문항에 해당합니다.

▶ 한양대학교 – 논술전형 – 자연계열(오후1)(수학) - 문제 2번 – 3번

문항 및 제시문, 예시 답안	[소문항 3번 문항], [예시 답안]

2015 개정 수학과 교육과정	□수학Ⅰ□ ‘수열’ – 학습 요소(용어와 기호)

대학과정 내용	대학 수학 교재 □해석학□ - 양항급수 비교 판정법

□ [소문항 3번 문항]에 제시되어 있는 수열의 합 기호 표현은 수열의 합 기호([eqn: SIGMA])의 마지막 항의 첨자가 [eqn: {`n} over {3}]로 되어 있습니다. [eqn: sum _{k=1} ^{{n} over {3}} `` _{n} C _{k}]과 같은  수열의 기호 표현은 고등학교 교육과정에서 다룰 수 있는 기호 표현이 아닙니다.

□ [소문항 3번 문항]에 주어진 부등식이 성립함을 보이기위해서 문항의 [예시 답안]에서‘수열의 합(시그마)과 부등식에 대한 성질([eqn: a _{n} <= b _{n}]이면 [eqn: SIGMA ``a _{n} <= ` SIGMA ``b _{n}])’을 이용하고 있습니다. 고등학교 □수학Ⅰ에서는 수열의 합과 관련하여 합과 차, 실수배에 관련된 성질만 다루며 부등식에 관련된 성질은 다루지 않습니다.‘수열의 합(시그마)과 부등식에 대한 성질([eqn: a _{n} <= b _{n}]이면 [eqn: SIGMA ``a _{n} <= ` SIGMA ``b _{n}])’와 같은 성질은 대학 수학 교재 □해석학□에서‘양항급수의 비교 판정법’에 관련하여 다루고 있습니다.

□ 본 문항은 고등학교 교육과정에서 사용할 수 없는 기호 표현을 사용하고 있으며 그 풀이과정에서도 대학과정의 내용을 포함하고 있으므로 대학과정의 내용을 알고 있지 못한다면 쉽게 해결할 수 있는 문제가 아닙니다. 따라서 본 문항은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문항에 해당합니다.

▶ 한양대학교 – 논술전형 – 자연계열(오후2)(수학) - 문제 1번 – 소문항 3번

문항 및 제시문, 예시 답안, 채점 기준	[소문항 3번 문항], [예시 답안], [채점 기준]

2015 개정 수학과 교육과정	□확률과 통계□ ‘경우의 수’ – 성취기준, 학습 요소

□ [소문항 3번 문항]은 ‘이항계수의 대칭성’을 이용하여 풀이할 것을 유도하고 있습니다. 하지만 ‘이항계수의 대칭성’에 대한 설명이나 내용은 제시문이나 문항의 어디에도 언급되어 있지 않습니다. 고등학교 □확률과 통계□의 이항정리를 배울 때 ‘이항계수’를 다루고 있지만,‘이항계수의 대칭성’이란 용어나 개념은 교육과정이나 교과서 어디에서도 찾아볼 수 없는 개념에 해당합니다. [채점 기준]에도‘이항계수의 대칭성’을 이용하여 그 값을 구하였는가라는 내용이 있는 것을 볼 때 학생들은 문제를 접하기 전에‘이항계수의 대칭성’에 대한 내용을 알고 있어야 하지만 이에 대한 내용은 [제시문] 뿐만 아니라 고등학교 교유과정에서도 다루지 않고 있으므로‘이항계수의 대칭성’에 대한 개념을 알고 있지 못하는 경우에는 이 문항을 해결할 수 없습니다. 따라서 본 문항은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문항에 해당합니다.

홍익대학교

▶ 홍익대학교 – 논술전형 – 자연계열 – 문제 1 – 소문항 (3)

문항 및 제시문, 예시 답안	[소문항 (3)]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □대학미적분학□ - ‘적분과 관련된 ’연습문제

아래 그림은 정사각형의 변보다 중심까지의 거리가 더 가까운 정사각형 안의 모든 점들을 포함하는 영역를 나타냅니다. 이 영역의 넓이를 구하여라.

□ [소문항 (3)]]의 문제는 대학 수학 교재□대학미적분학(Calculus by Stewart, James 8th, p353)□의 적분 단원의 연습문제에 실려있는 문제와 동일한 문제입니다. 따라서 본 문항은 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어나 대학과정에서 다루는 내용을 출제한 것으로 판정됩니다.

▶ 홍익대학교 – 논술전형 – 자연계열 – 문제 2 – 소문항 (1),(2),(3)

문항 및 제시문, 예시 답안	[문제 2], [소문항 (1),(2),(3)], [예시 답안]

[문제2] - 제시문

선행교육 예방을 위한 교과별 안내자료	평가 시 유의 사항 – 새로운 용어 및 기호 사용

□ [문제2[의 제시문에는 고등학교 교육과정에서 다루지 않는‘n-반복 코드’,‘최종결정오류’와 같은 새로운 용어를 정의되어 있으며 [소문항 (1),(2),(3)]은 모두 이 용어를 이용하여 문제를 해결할 것을 요구하고 있습니다. 한국교육과정평가원에서 발표한 □선행교육 예방을 위한 교과별 안내 자료□의 평가 시 유의사항에는 ‘용어와 기호가 교육과정의 학습 요소에서 벗어나는 내용은 출제하지 않아야 하며 새로운 용어와 기호를 문제에서 정의하고 출제하는 것도 지양해야 한다.’라고 되어 있습니다. 본 문제는 문제에서 새롭게 정의한 용어를 이용하여 문제를 해결해야 하므로 본 문항은 고등학교 교육과정을 벗어나 출제된 것으로 판정됩니다.

▶ 홍익대학교 – 논술전형 – 자연계열 – 문제 3 – 소문항 (1),(2),(3),(4)

문항 및 제시문	[제시문(가)], [제시문(나)] [소문항 (1),(2),(3),(4)]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □정수론□ - 가우스 기호

	대학 수학 교재 □해석학□ - [eqn: M _{k}], [eqn: m _{k}]

	대학 수학 교재 □대학미적분학□ - 밀도와 질량

□ [제시문(가)]의 홍익이의 아이디어와 [제시문(나)의 내용은 대학 수학 교재 □대학미적분학□의 이중적분의 응용단원의‘밀도와 질량(Density and Mass)’의 내용과 동일합니다. 따라서 대학 교재의 내용을 출제한 것으로 판정됩니다.

□ [소문항 (1),(2)]에는‘가우스 기호’에 대해서 언급하고 있는데‘가우스 기호’는 고등학교 교육과정에서 다루는 내용이 아니며 대학 수학 교재 □정수론□에서 나오는 개념에 해당합니다. 특히 [소문항(2)]에 있는 [eqn: m _{k}], [eqn: M _{k}]의 표현은 대학 수학 교재 □해석학□에서 나오는 개념입니다.

□ [소문항 (3),(4)]는 모두 대학과정의 내용을 다룬 [제시문(나)]에서 정의된 새로운 함수 [eqn: S(n)]과 [eqn: t(n)]을 이용하여 문제를 해결해야 하므로 [소문항 (3),(4)]는 고등학교 교육과정의 범위와 수준을 벗어난 문항에 해당합니다.

▶ 홍익대학교 – 논술전형 – 자연계열 – 문제 2 – 소문항 (1),(2),(3)

문항 및 제시문	[제시문], [소문항 (1),(2),(3)]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □해석학□ - 함수열

선행교육 예방을 위한 교과별 안내자료	평가 시 유의 사항 – 새로운 용어 및 기호 사용

□ [문제2]의 [제시문]과 [소문항(1),(2),(3)]에 있는 [eqn: y _{1} (t)], [eqn: y _{2} (t)], [eqn: v _{1} (t)], [eqn: v _{2} (t)]와 같은 기호 표현은 모두 고등학교 교육과정에서 다루지 않는 함수의 표현 방법입니다. 이와 같이 함수에 아래첨자가 있는 함수의 표현방법은 대학 수학 교재 □해석학□에서 다루는‘함수열’과 관련된 기호 표현입니다. 고등학교 교육과정에서 다룰 수 있는 학습요소에서 벗어난 새로운 용어 및 기호를 사용한 문제에 해당합니다.

▶ 홍익대학교 – 논술전형 – 자연계열 – 문제 3 – 소문항 (1),(2),(4),(5)

문항 및 제시문	[제시문(가)], [소문항 (1),(2),(4),(5)]

대학과정 내용	대학 수학 교재 □확률과 통계□ - 지수분포, 확률의 곱셈정리

2015 개정 수학과 교육과정	□확률과 통계□ - 학습요소, 평가 방법 및 유의사항

선행교육 예방을 위한 교과별 안내자료	평가 시 유의 사항 – 새로운 용어 및 기호 사용

□ [제시문(가)]에 있는 내용은 ‘일정한 시간 안에 사건이 발생하는 데까지 걸리는 대기시간’에 대한 확률 문제로서 대학과정 □확률과 통계□에서 배우는 ‘지수분포’의 개념과 연관되는 내용입니다. ‘지수분포’와 관련된 개념은 고등학교 교육과정에서 다루지 않습니다.

□ [소문항 (1)]에 있는 [eqn: P`(A _{1} )], [eqn: P`(A _{2} )]와 같이 사건에 아래첨자가 붙은 확률의 기호 표현은 고등학교 교육과정 내에서 다룰 수 있는 기호 표현이 아닙니다. [소문항 (2),(4),(5)]에도 사건에 아래첨자가 붙은 동일한 기호 표현이 사용하고 있습니다. 이러한 기호 표현은 대학 수학 교재 □확률과 통계□에서 사용하는 기호 표현에 해당합니다.

□ [소문항 (2),(3,(4),(5)]는 서로 독립인 [eqn: n]개의 사건에 대한 독립시행의 확률을 구하는 문제입니다. 하지만 고등학교 교육과정에는 ‘세 개 이상의 사건에서 서로 독림임을 가정하는 복잡한 문제는 다루지 않는다.’라고 명시되어 있으며 세 개 이상의 사건에 대한 확률을 구하는 문제는 대학과정인 □확률과 통계□에서 다룰 수 있는 내용입니다. 따라서 [소문항 (1),(2),(4),(5)] 대학과정에서 다루는 기호 표현을 사용하고 있으며 고등학교 교육과정에 명시된 평가 방법 및 유의사항을 준수하지 않은 문항에 해당합니다.